🔢 संख्या पद्धति (Number Systems)

हाँ, शून्य एक परिमेय संख्या है।

यहाँ p = 0 तथा q = 1 है और q ≠ 0 है।

3 और 4 को समान हर में लिखते हैं:

अतः इनके बीच छह परिमेय संख्याएँ हैं:

अतः इनके बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं:

(i) प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

(ii) प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्ण संख्या होती है।

(iii) प्रत्येक परिमेय संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

(i) प्रत्येक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।

(ii) संख्या रेखा का प्रत्येक बिंदु √m के रूप का होता है, जहाँ m एक प्राकृत संख्या है।

(iii) प्रत्येक वास्तविक संख्या एक अपरिमेय संख्या होती है।

नहीं, सभी धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल अपरिमेय नहीं होते।

2 एक परिमेय संख्या है।

1. एक संख्या रेखा खींचिए और O को 0 मानिए।
2. O से 2 इकाई दूरी पर A बिंदु लीजिए।
3. A पर 1 इकाई का लंब AB खींचिए।
4. पाइथागोरस प्रमेय से:

अब O को केंद्र तथा OB को त्रिज्या लेकर चाप खींचिए। चाप जहाँ संख्या रेखा को काटेगा, वही बिंदु √5 को दर्शाएगा।

1. एक बिंदु O लीजिए।
2. O से 1 इकाई का रेखाखंड OP₁ खींचिए।
3. OP₁ पर लंब P₁P₂ खींचिए जिसकी लंबाई 1 इकाई हो।
4. इसी प्रक्रिया को आगे जारी रखें।
5. इससे √2, √3, √4, ... को प्रदर्शित करने वाला वर्गमूल सर्पिल प्राप्त होता है।

(i) 36/100

(ii) 1/11

(iii) 4 1/8

(iv) 3/13

(v) 2/11

(vi) 329/400

(i) 0.6666...

(ii) 0.474747...

(iii) 0.001001001...

हर 17 है और 17 एक अभाज्य संख्या है। अधिकतम पुनरावृत्ति की लंबाई 17 - 1 हो सकती है।

ऐसे भिन्नों के हर में सरल रूप में केवल 2 और 5 के गुणनखंड होने पर दशमलव प्रसार सांत होता है।

लगभग:

अब तीन अपरिमेय संख्याएँ:

(i) √23 – 23 पूर्ण वर्ग नहीं है। ❌ अपरिमेय

(ii) √225 – √225 = 15 ✅ परिमेय

(iii) 0.3796 – 0.3796 = 3796/10000 ✅ परिमेय

(iv) 7.478478... – इसमें 478 की पुनरावृत्ति हो रही है। ✅ परिमेय

(v) 1.101001000100001... – दशमलव प्रसार असांत तथा अनावर्ती है। ❌ अपरिमेय

(i) 2 - √5

(ii) (3 + √23) - √23

(iii) (2√7)/(7√7)

(iv) 1/√2

(v) 2π

(i) (3 + √3)(2 + √2)

(ii) (3 + √3)(3 - √3)

(iii) (√5 + √2)²

(iv) (√5 - √2)(√5 + √2)

π को वृत्त की परिधि और व्यास के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:

लेकिन केवल इस परिभाषा से π को परिमेय नहीं कहा जा सकता, क्योंकि परिमेय संख्या के लिए p और q पूर्णांक होने चाहिए तथा q ≠ 0 होना चाहिए।

1. एक संख्या रेखा पर A और B बिंदु लीजिए ताकि AB = 9.3 इकाई हो।
2. B से आगे 1 इकाई लेकर C बिंदु लें।
3. AC का मध्य-बिंदु O ज्ञात करें।
4. O को केंद्र और OC को त्रिज्या मानकर अर्धवृत्त खींचें।
5. B से AC पर लंब खींचें जो अर्धवृत्त को D पर काटे।

पाइथागोरस प्रमेय/ज्यामितीय माध्य से:

अब BD की लंबाई को संख्या रेखा पर स्थानांतरित करके √9.3 को निरूपित किया जा सकता है।

(i) 1/√7

(ii) 1/(√7 - √6)

(iii) 1/(√5 + √2)

(iv) 1/(√7 - 2)

(i) 64^1/2

(ii) 32^1/5

(iii) 125^1/3

(i) 9^3/2

(ii) 32^2/5

(iii) 16^3/4

(iv) 125^-1/3

(i) 2^2/3 × 2^1/3

(ii) (1/3)⁴

(iii) 11^1/2 / 11^1/4

(iv) 7^1/2 × 8^1/2