प्रश्नावली 10.1 (Exercise 10.1)
प्रश्न 1: एक यातायात संकेत बोर्ड पर 'आगे स्कूल है' लिखा है और यह भुजा 'a' वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल: समबाहु त्रिभुज की भुजा = a
परिमाप = 3a = 180 सेमी ⇒ a = 60 सेमी
अर्धपरिमाप s = 180/2 = 90 सेमी
हीरोन के सूत्र से,
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-a)(s-a)]
= √[90 × 30 × 30 × 30]
= √(90 × 27000)
= √2430000
= 900√3 सेमी² (लगभग 1558.85 सेमी²)
प्रश्न 2: किसी फ्लाईओवर की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाएँ 122 मी, 22 मी और 120 मी हैं। इस विज्ञापन से प्रति वर्ष ₹5000 प्रति मी² की प्राप्ति होती है। एक कंपनी ने एक दीवार को 3 महीने के लिए विज्ञापन के लिए किराए पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया?
हल: भुजाएँ a = 122 मी, b = 22 मी, c = 120 मी
अर्धपरिमाप s = (122 + 22 + 120)/2 = 264/2 = 132 मी
क्षेत्रफल = √[132 × (132-122) × (132-22) × (132-120)]
= √[132 × 10 × 110 × 12]
= √1742400
= 1320 मी²
प्रति वर्ष किराया = 1320 × 5000 = ₹66,00,000
3 महीने का किराया = 66,00,000 × 3/12 = ₹16,50,000
प्रश्न 3: एक पार्क में एक फिसल पट्टी (slide) बनी हुई है। इसकी पार्श्वीय दीवारों (side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है। उस दीवार की भुजाओं की लंबाइयाँ 15 मी, 11 मी और 6 मी हैं। पेंट की प्रत्येक कैन से 5 मी² क्षेत्रफल को पेंट किया जा सकता है। उस दीवार को पेंट करने के लिए कितने कैन पेंट की आवश्यकता होगी?
हल: भुजाएँ a = 15 मी, b = 11 मी, c = 6 मी
अर्धपरिमाप s = (15 + 11 + 6)/2 = 32/2 = 16 मी
क्षेत्रफल = √[16 × (16-15) × (16-11) × (16-6)]
= √[16 × 1 × 5 × 10]
= √800
= 20√2 मी² (लगभग 28.28 मी²)
आवश्यक कैन = 28.28/5 ≈ 6 कैन
प्रश्न 4: एक त्रिभुजाकार स्थान (field) की भुजाओं की लंबाइयाँ 26 मी, 28 मी और 30 मी हैं। ₹15 प्रति मी² की दर से इस स्थान को समतल करने की लागत ज्ञात कीजिए।
हल: भुजाएँ a = 26 मी, b = 28 मी, c = 30 मी
अर्धपरिमाप s = (26 + 28 + 30)/2 = 84/2 = 42 मी
क्षेत्रफल = √[42 × (42-26) × (42-28) × (42-30)]
= √[42 × 16 × 14 × 12]
= √112896
= 336 मी²
समतल करने की लागत = 336 × 15 = ₹5040
प्रश्न 5: एक त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ 12 : 17 : 25 के अनुपात में हैं और इसका परिमाप 540 सेमी है। पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: भुजाएँ 12x, 17x, 25x
परिमाप = 12x + 17x + 25x = 54x = 540 ⇒ x = 10
भुजाएँ: 120 सेमी, 170 सेमी, 250 सेमी
अर्धपरिमाप s = 540/2 = 270 सेमी
क्षेत्रफल = √[270 × (270-120) × (270-170) × (270-250)]
= √[270 × 150 × 100 × 20]
= √81000000
= 9000 सेमी²
प्रश्न 6: एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है और इसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: बराबर भुजाएँ = 12 सेमी, 12 सेमी
तीसरी भुजा = 30 - 24 = 6 सेमी
अर्धपरिमाप s = 30/2 = 15 सेमी
क्षेत्रफल = √[15 × (15-12) × (15-12) × (15-6)]
= √[15 × 3 × 3 × 9]
= √1215
= 9√15 सेमी² (लगभग 34.86 सेमी²)
प्रश्नावली 10.2 (Exercise 10.2)
प्रश्न 1: एक त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ 12 : 17 : 25 के अनुपात में हैं और इसका परिमाप 540 सेमी है। पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 10.1.5 जैसा ही)
उत्तर: क्षेत्रफल = 9000 सेमी²
प्रश्न 2: एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है और इसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 10.1.6 जैसा ही)
उत्तर: क्षेत्रफल = 9√15 सेमी²
प्रश्न 3: एक त्रिभुजाकार स्थान की भुजाओं की लंबाइयाँ 26 मी, 28 मी और 30 मी हैं। ₹15 प्रति मी² की दर से इस स्थान को समतल करने की लागत ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 10.1.4 जैसा ही)
उत्तर: लागत = ₹5040
प्रश्न 4: एक त्रिभुजाकार पार्क की भुजाएँ 12 : 17 : 25 के अनुपात में हैं और इसका परिमाप 540 सेमी है। पार्क का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 10.1.5 जैसा ही)
उत्तर: क्षेत्रफल = 9000 सेमी²
प्रश्न 5: एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 30 सेमी है और इसकी बराबर भुजाएँ 12 सेमी हैं। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 10.1.6 जैसा ही)
उत्तर: क्षेत्रफल = 9√15 सेमी²
प्रश्न 6: एक त्रिभुजाकार स्थान की भुजाओं की लंबाइयाँ 26 मी, 28 मी और 30 मी हैं। ₹15 प्रति मी² की दर से इस स्थान को समतल करने की लागत ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 10.1.4 जैसा ही)
उत्तर: लागत = ₹5040
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