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कक्षा 9 गणित

📐 अध्याय 11: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

NCERT के मूल प्रश्नों के step-by-step हिंदी समाधान, सूत्र और समझने योग्य 3D आकृतियाँ।

प्रश्नावली 11.1 (Exercise 11.1)

NCERT PDF के अनुसार इस exercise में शंकु के वक्र/कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल, तिर्यक ऊँचाई, तंबू और शंकु आधारित प्रश्न हैं।
प्रश्न 1: एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: व्यास = 10.5 cm ⇒ r = 5.25 cm, l = 10 cm।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 22/7 × 5.25 × 10 = 165 cm²।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 2: एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21 m है और आधार का व्यास 24 m है।
हल: r = 12 m, l = 21 m।
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r) = 22/7 × 12 × 33 = 1244.57 m² (लगभग)।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 3: एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए: (i) आधार की त्रिज्या (ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल: πrl = 308 ⇒ 22/7 × r × 14 = 308 ⇒ r = 7 cm।
(ii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l+r) = 22/7 × 7 × 21 = 462 cm²।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 4: शंकु के आकार का एक तंबू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है। ज्ञात कीजिए: (i) तंबू की तिर्यक ऊँचाई (ii) तंबू में लगे कैनवास की लागत, यदि 1 m² कैनवास की लागत ₹70 है।
हल: h = 10 m, r = 24 m।
l = √(r²+h²) = √(24²+10²) = 26 m।
कैनवास का क्षेत्रफल = πrl = 22/7 × 24 × 26 = 1961.14 m²।
लागत = 1961.14 × 70 = ₹1,37,280 (लगभग)।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 5: 8 m ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तंबू बनाने में 3 m चौड़े तिरपाल की कितनी लंबाई लगेगी? सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14)
हल: l = √(6²+8²) = 10 m।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 3.14 × 6 × 10 = 188.4 m²।
लंबाई = 188.4/3 = 62.8 m।
20 cm = 0.2 m अतिरिक्त। अतः कुल लंबाई = 63 m।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 6: शंकु के आधार की एक गुंबद की तिर्यक ऊँचाई और आधार व्यास क्रमशः 25 m और 14 m हैं। इसकी वक्र पृष्ठ पर ₹210 प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल: r = 7 m, l = 25 m।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × 7 × 25 = 550 m²।
दर = ₹210/100 m² = ₹2.10/m²।
व्यय = 550 × 2.10 = ₹1,155।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 7: एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: l = √(7²+24²) = 25 cm।
एक टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 22/7 × 7 × 25 = 550 cm²।
10 टोपियों के लिए = 10 × 550 = 5500 cm²।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 8: किसी बस स्टॉप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm और ऊँचाई 1 m है। यदि इनके बाहरी पृष्ठों को ₹12 प्रति m² की दर से पेंट करवाना है, तो कुल लागत कितनी होगी? (π = 3.14)
हल: r = 20 cm = 0.20 m, h = 1 m।
l = √(1²+0.2²) = √1.04 ≈ 1.02 m।
एक शंकु का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ≈ 3.14 × 0.2 × 1.02 = 0.64056 m²।
50 शंकुओं का क्षेत्रफल ≈ 32.028 m²।
लागत ≈ 32.028 × 12 = ₹384.34 (लगभग)।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई

प्रश्नावली 11.2 (Exercise 11.2)

इस exercise में गोला, अर्धगोला और गोले-बेलन से संबंधित पृष्ठीय क्षेत्रफल के प्रश्न हैं।
प्रश्न 1: निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) 10.5 cm (ii) 5.6 cm (iii) 14 cm।
हल: (i) 4π(10.5)² = 1386 cm²।
(ii) 4π(5.6)² = 394.24 cm²।
(iii) 4π(14)² = 2464 cm²।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 2: निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए: (i) 14 cm (ii) 21 cm (iii) 3.5 m।
हल: त्रिज्या = व्यास/2।
(i) r=7 cm ⇒ 616 cm²।
(ii) r=10.5 cm ⇒ 1386 cm²।
(iii) r=1.75 m ⇒ 38.5 m²।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 3: 10 cm त्रिज्या वाले एक अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
हल: कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr² = 3 × 3.14 × 10² = 942 cm²।
r
अर्धगोला: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², कुल = 3πr²
प्रश्न 4: एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में, गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल: पृष्ठीय क्षेत्रफल ∝ r²। अतः अनुपात = 7² : 14² = 49 : 196 = 1 : 4।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 5: पीतल से बने एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक व्यास 10.5 cm है। ₹16 प्रति 100 cm² की दर से इसके आंतरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल: r = 5.25 cm। आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² = 173.25 cm²।
व्यय = 173.25 × 16/100 = ₹27.72।
r
अर्धगोला: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², कुल = 3πr²
प्रश्न 6: उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल: 4πr² = 154 ⇒ r² = 154/(4×22/7) = 12.25 ⇒ r = 3.5 cm।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 7: चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल: पृष्ठीय क्षेत्रफल ∝ व्यास²। अतः अनुपात = (1/4)² = 1 : 16।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 8: एक अर्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: बाहरी त्रिज्या R = 5 + 0.25 = 5.25 cm।
बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR² = 173.25 cm²।
r
अर्धगोला: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², कुल = 3πr²
प्रश्न 9: एक लंब वृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए है। ज्ञात कीजिए: (i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल (ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (iii) ऊपर (i) और (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात।
हल: गोले की त्रिज्या r और बेलन की ऊँचाई 2r होगी।
(i) गोले का क्षेत्रफल = 4πr²।
(ii) बेलन का वक्र क्षेत्रफल = 2πr(2r) = 4πr²।
(iii) अनुपात = 1 : 1।
r2r
गोला और उसी त्रिज्या वाला बेलन, जिसकी ऊँचाई 2r है

प्रश्नावली 11.3 (Exercise 11.3)

इस exercise में शंकु का आयतन, धारिता और घूर्णन से बनने वाले ठोस के प्रश्न हैं।
प्रश्न 1: उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी (i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है। (ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।
हल: (i) V = 1/3πr²h = 264 cm³।
(ii) V = 1/3×22/7×3.5²×12 = 154 cm³।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 2: शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी (i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है। (ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।
हल: (i) h = √(25²−7²)=24 cm। V = 1232 cm³ = 1.232 L।
(ii) r = √(13²−12²)=5 cm। V = 1/3×22/7×25×12 = 2200/7 = 314.29 cm³ ≈ 0.314 L।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 3: एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)
हल: 1/3×3.14×r²×15 = 1570 ⇒ 15.7r² = 1570 ⇒ r²=100 ⇒ r = 10 cm।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 4: यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 48π cm³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।
हल: 1/3πr²×9 = 48π ⇒ 3r²=48 ⇒ r²=16 ⇒ r=4 cm।
व्यास = 8 cm।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 5: ऊपरी व्यास 3.5 m वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?
हल: r=1.75 m, h=12 m। V = 1/3×22/7×1.75²×12 = 38.5 m³।
1 m³ = 1 kL ⇒ धारिता = 38.5 kL।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 6: एक लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है, तो ज्ञात कीजिए: (i) शंकु की ऊँचाई (ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई (iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।
हल: r=14 cm।
V=1/3πr²h ⇒ h=48 cm।
l=√(14²+48²)=50 cm।
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 22/7×14×50 = 2200 cm²।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई
प्रश्न 7: भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल: 12 cm वाली भुजा घूर्णन-अक्ष है, इसलिए शंकु की ऊँचाई h=12 cm और त्रिज्या r=5 cm।
V=1/3π×5²×12 = 100π = 2200/7 cm³ ≈ 314.29 cm³।
51213
घुमाने पर शंकु बनता है; घूर्णन-अक्ष के अनुसार r और h बदलते हैं
प्रश्न 8: यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को भुजा 5 cm के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।
हल: अब h=5 cm और r=12 cm।
V=1/3π×12²×5 = 240π = 5280/7 cm³ ≈ 754.29 cm³।
आयतन अनुपात = 100π : 240π = 5 : 12।
51213
घुमाने पर शंकु बनता है; घूर्णन-अक्ष के अनुसार r और h बदलते हैं
प्रश्न 9: गेहूँ की एक ढेरी 10.5 m व्यास और 3 m ऊँचाई वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए कैनवास से ढका जाना है। वांछित कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: r=5.25 m, h=3 m।
V=1/3πr²h = 86.625 m³।
l=√(5.25²+3²) ≈ 6.047 m।
कैनवास का क्षेत्रफल = πrl ≈ 99.77 m²।
hlr
शंकु: r = त्रिज्या, h = ऊँचाई, l = तिर्यक ऊँचाई

प्रश्नावली 11.4 (Exercise 11.4)

इस exercise में गोले/अर्धगोले का आयतन, विस्थापित पानी, घनत्व, द्रव्यमान और अनुपात वाले प्रश्न हैं।
प्रश्न 1: उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी त्रिज्या निम्न है: (i) 7 cm (ii) 0.63 m।
हल: (i) V=4/3π×7³ = 1437.33 cm³।
(ii) V=4/3π×0.63³ = 1.0478 m³।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 2: उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका व्यास निम्न है: (i) 28 cm (ii) 0.21 m।
हल: विस्थापित पानी का आयतन = गेंद का आयतन।
(i) r=14 cm ⇒ 11498.67 cm³।
(ii) r=0.105 m ⇒ 0.004851 m³।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 3: धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 g/cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।
हल: r=2.1 cm। आयतन = 4/3πr³ = 38.808 cm³।
द्रव्यमान = घनत्व × आयतन = 8.9 × 38.808 = 345.3912 g ≈ 345.39 g।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 4: चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है?
हल: गोले का आयतन ∝ r³। व्यास का अनुपात 1:4 है, इसलिए आयतन का अनुपात = (1/4)³ = 1/64।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 5: व्यास 10.5 cm वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है?
हल: r=5.25 cm। V=2/3πr³ = 303.1875 cm³।
1000 cm³ = 1 L ⇒ दूध = 0.303 L (लगभग)।
r
अर्धगोला: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², कुल = 3πr²
प्रश्न 6: एक अर्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर से बनी है। यदि इसकी आंतरिक त्रिज्या 1 m है, तो इस टंकी को बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल: आंतरिक r=1 m, बाहरी R=1.01 m।
लोहे का आयतन = 2/3π(R³−r³) = 2/3×22/7×(1.01³−1) = 0.06349 m³ (लगभग)।
r
अर्धगोला: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², कुल = 3πr²
प्रश्न 7: उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।
हल: 4πr²=154 ⇒ r=3.5 cm।
V=4/3πr³ = 179.67 cm³ (लगभग)।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 8: किसी भवन का गुंबद एक अर्धगोले के आकार का है। अंदर से इसे सफेदी कराने में ₹498.96 व्यय हुआ। यदि सफेदी कराने की दर ₹2 प्रति वर्ग मीटर है, तो ज्ञात कीजिए: (i) गुंबद का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (ii) गुंबद के अंदर की हवा का आयतन।
हल: क्षेत्रफल = 498.96/2 = 249.48 m²।
2πr²=249.48 ⇒ r²=39.69 ⇒ r=6.3 m।
(i) आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48 m²।
(ii) हवा का आयतन = 2/3πr³ = 523.908 m³ ≈ 523.91 m³।
r
अर्धगोला: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², कुल = 3πr²
प्रश्न 9: लोहे के सत्ताईस ठोस गोलों को पिघलाकर, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है, एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S′ है। ज्ञात कीजिए: (i) नए गोले की त्रिज्या r′ (ii) S और S′ का अनुपात।
हल: आयतन संरक्षण: 27×4/3πr³ = 4/3πr′³ ⇒ r′³=27r³ ⇒ r′=3r।
S=4πr² और S′=4π(3r)²=36πr²=9S।
अतः S:S′ = 1:9।
rकेंद्र
गोला: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
प्रश्न 10: दवा का एक कैप्सूल 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोल) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी दवा (mm³ में) की आवश्यकता होगी?
हल: r=3.5/2=1.75 mm।
V=4/3πr³ = 4/3×22/7×1.75³ = 22.4583 mm³ ≈ 22.46 mm³।
व्यास 3.5 mm
प्रश्न 10: कैप्सूल को गोले के रूप में माना गया है

📌 अध्याय के मुख्य सूत्र

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r)
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
शंकु का आयतन = 1/3 πr²h
गोले का आयतन = 4/3 πr³
अर्धगोले का आयतन = 2/3 πr³

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