कक्षा 9 गणित – अध्याय 2

📐 बहुपद (Polynomials)

NCERT Solutions – प्रश्नावली 2.1 से 2.5 तक सभी प्रश्नों के सरल एवं चरणबद्ध हल

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📚 अध्याय की प्रश्नावलियाँ: प्रश्नावली 2.1 प्रश्नावली 2.2 प्रश्नावली 2.3 प्रश्नावली 2.4 प्रश्नावली 2.5

प्रश्नावली 2.1 – बहुपद का परिचय

प्रश्न 1. निम्नलिखित व्यंजकों में कौन-कौन एक चर वाले बहुपद हैं और कौन-कौन नहीं? कारण दीजिए।

(i) 4x² - 3x + 7

✅ यह एक चर (x) वाला बहुपद है।

(ii) y² + √2

✅ यह एक चर (y) वाला बहुपद है।

(iii) 3√t + t√2

❌ बहुपद नहीं है, क्योंकि √t = t¹/², घात पूर्णांक नहीं है।

(iv) y + 2/y

❌ बहुपद नहीं है, क्योंकि 2/y = 2y⁻¹, घात ऋणात्मक है।

(v) x¹⁰ + y³ + t⁵⁰

❌ एक चर वाला बहुपद नहीं है (तीन चर x, y, t हैं)।

प्रश्न 2. निम्नलिखित बहुपदों में से प्रत्येक बहुपद का गुणांक लिखिए।

(i) 2 + x² + x

x² का गुणांक = 1

(ii) 2 - x² + x³

x² का गुणांक = -1

(iii) (π/2)x² + x

x² का गुणांक = π/2

(iv) √2x - 1

x² का गुणांक = 0 (x² पद नहीं है)

प्रश्न 3. 35 घात वाले बहुपद और 100 घात वाले बहुपद के उदाहरण दीजिए।

35 घात वाला बहुपद:

x³⁵ + 2x³⁴ + 1

100 घात वाला बहुपद:

x¹⁰⁰ + 5x⁹⁹ - 3

प्रश्नावली 2.2 – बहुपद के शून्यक

प्रश्न 1. निम्नलिखित पर बहुपद 5x - 4x² + 3 का मान ज्ञात कीजिए।

(i) x = 0

p(0) = 5(0) - 4(0)² + 3 = 3

(ii) x = -1

p(-1) = 5(-1) - 4(-1)² + 3 = -5 - 4 + 3 = -6

(iii) x = 2

p(2) = 5(2) - 4(2)² + 3 = 10 - 16 + 3 = -3

प्रश्न 2. निम्नलिखित में से प्रत्येक में बहुपद का शून्यक ज्ञात कीजिए।

(i) p(x) = 3x - 2

3x - 2 = 0 → x = 2/3
शून्यक = 2/3

(ii) p(x) = 4x + 5

4x + 5 = 0 → x = -5/4
शून्यक = -5/4

(iii) p(x) = 2x + 1

2x + 1 = 0 → x = -1/2
शून्यक = -1/2

(iv) p(x) = 5x

5x = 0 → x = 0
शून्यक = 0

प्रश्न 3. सत्यापित कीजिए कि दिखाए गए मान बहुपद के शून्यक हैं या नहीं।

p(x) = 3x + 1, x = -1/3

p(-1/3) = 3(-1/3) + 1 = -1 + 1 = 0
✅ -1/3 शून्यक है।

p(x) = x² - 1, x = 1, -1

p(1) = 1 - 1 = 0, p(-1) = 1 - 1 = 0
✅ 1 और -1 दोनों शून्यक हैं।

प्रश्नावली 2.3 – शेषफल प्रमेय

प्रश्न 1. निम्नलिखित में से प्रत्येक में, भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1 को x + 1 से भाग देने पर

शेषफल प्रमेय से: p(-1) ज्ञात करें

p(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + 3(-1) + 1
= -1 + 3 - 3 + 1 = 0
शेषफल = 0

p(x) = x⁴ - 3x² + 4x + 5 को x - 1 से भाग देने पर

p(1) = 1 - 3 + 4 + 5 = 7
शेषफल = 7

प्रश्न 2. जाँच कीजिए कि 7 + 3x, 3x³ + 7x का एक गुणनखंड है या नहीं।

7 + 3x = 0 → x = -7/3

p(-7/3) = 3(-7/3)³ + 7(-7/3)
= 3(-343/27) - 49/3 = -343/9 - 147/9 = -490/9 ≠ 0
❌ 7 + 3x, 3x³ + 7x का गुणनखंड नहीं है।

प्रश्न 3. यदि x³ + ax² + bx + 6 का (x - 2) एक गुणनखंड है और x = 3 पर शेषफल 3 आता है, तो a और b ज्ञात कीजिए।

∵ (x - 2) गुणनखंड है, ∴ p(2) = 0

8 + 4a + 2b + 6 = 0 → 4a + 2b = -14 → 2a + b = -7 ...(i)

दिया है: p(3) = 3

27 + 9a + 3b + 6 = 3 → 9a + 3b = -30 → 3a + b = -10 ...(ii)

समीकरण (ii) - (i): a = -3

समीकरण (i) में a = -3 रखने पर: 2(-3) + b = -7 → b = -1

✅ a = -3, b = -1

प्रश्नावली 2.4 – गुणनखंड प्रमेय

प्रश्न 1. निम्नलिखित बहुपदों के गुणनखंड कीजिए।

(i) 12x² - 7x + 1

= 12x² - 4x - 3x + 1
= 4x(3x - 1) - 1(3x - 1)
= (3x - 1)(4x - 1)

(ii) 2x² + 7x + 3

= 2x² + 6x + x + 3
= 2x(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3)(2x + 1)

(iii) 6x² + 5x - 6

= 6x² + 9x - 4x - 6
= 3x(2x + 3) - 2(2x + 3)
= (2x + 3)(3x - 2)

प्रश्न 2. x³ - 23x² + 142x - 120 के गुणनखंड कीजिए।

परीक्षण द्वारा: x = 1 पर, p(1) = 1 - 23 + 142 - 120 = 0

∴ (x - 1) एक गुणनखंड है।

x³ - 23x² + 142x - 120 = (x - 1)(x² - 22x + 120)
= (x - 1)(x² - 10x - 12x + 120)
= (x - 1)(x - 10)(x - 12)
✅ (x - 1)(x - 10)(x - 12)

प्रश्न 3. यदि x³ + ax² - bx + 10 को x² - 3x + 2 से भाग देने पर शेषफल शून्य आता है, तो a और b ज्ञात कीजिए।

x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)

∵ शेषफल शून्य है, ∴ (x - 1) और (x - 2) दोनों गुणनखंड हैं।

p(1) = 0 → 1 + a - b + 10 = 0 → a - b = -11 ...(i)

p(2) = 0 → 8 + 4a - 2b + 10 = 0 → 4a - 2b = -18 → 2a - b = -9 ...(ii)

समीकरण (ii) - (i): a = 2

समीकरण (i) में a = 2 रखने पर: 2 - b = -11 → b = 13

✅ a = 2, b = 13

प्रश्नावली 2.5 – बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

प्रश्न 1. निम्नलिखित सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनफल ज्ञात कीजिए।

(i) (x + 4)(x + 10)

= x² + (4 + 10)x + 4×10 = x² + 14x + 40

(ii) (x + 8)(x - 10)

= x² + (8 - 10)x + 8×(-10) = x² - 2x - 80

(iii) (3x + 4)(3x - 5)

= (3x)² + (4 - 5)(3x) + 4×(-5) = 9x² - 3x - 20

प्रश्न 2. सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।

(i) 103 × 107

= (100 + 3)(100 + 7) = 100² + (3 + 7)100 + 3×7
= 10000 + 1000 + 21 = 11021

(ii) 95 × 96

= (100 - 5)(100 - 4) = 100² + (-5 - 4)100 + (-5)(-4)
= 10000 - 900 + 20 = 9120

(iii) 104 × 96

= (100 + 4)(100 - 4) = 100² - 4² = 10000 - 16 = 9984

प्रश्न 3. सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके गुणनखंड कीजिए।

(i) 4x² + 12xy + 9y²

= (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)² = (2x + 3y)²

(ii) x² - 10x + 25

= x² - 2(x)(5) + 5² = (x - 5)²

(iii) 9x² - 16y²

= (3x)² - (4y)² = (3x - 4y)(3x + 4y)

प्रश्न 4. सर्वसमिका का प्रयोग करके (x + 2y + 4z)² का विस्तार कीजिए।

सर्वसमिका: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

(x + 2y + 4z)² = x² + (2y)² + (4z)² + 2(x)(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)(x)
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8zx

प्रश्न 5. सर्वसमिका का प्रयोग करके (2x - y + z)² का विस्तार कीजिए।

(2x - y + z)² = (2x)² + (-y)² + z² + 2(2x)(-y) + 2(-y)(z) + 2(z)(2x)
= 4x² + y² + z² - 4xy - 2yz + 4zx

⭐ महत्वपूर्ण सर्वसमिकाएँ (बीजगणितीय सूत्र)

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
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