प्रश्नावली 4.1 (Exercise 4.1)
प्रश्न 1: एक नोटबुक की कीमत एक कलम की कीमत से दो गुनी है। इस कथन को दो चरों वाले रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए।
हल: मान लीजिए नोटबुक की कीमत = x रुपये और कलम की कीमत = y रुपये है।
दिया गया है: x = 2y
⇒ x - 2y = 0 (यह अभीष्ट रैखिक समीकरण है)
प्रश्न 2: निम्नलिखित को दो चरों वाले रैखिक समीकरण के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) एक पिता की आयु अपने पुत्र की आयु से 5 वर्ष अधिक है।
हल: माना पिता की आयु = x वर्ष, पुत्र की आयु = y वर्ष
x = y + 5 ⇒ x - y = 5
(ii) एक क्रिकेट टीम में 11 खिलाड़ी हैं।
हल: यह एक चर वाला समीकरण है, दो चरों वाला नहीं। इसे दो चरों में व्यक्त नहीं किया जा सकता।
(iii) एक आयत का परिमाप 36 मीटर है।
हल: माना आयत की लंबाई = x मीटर, चौड़ाई = y मीटर
2(x + y) = 36 ⇒ x + y = 18
प्रश्नावली 4.2 (Exercise 4.2)
प्रश्न 1: निम्नलिखित विकल्पों में से कौन-सा विकल्प सत्य है, और क्यों?
y = 3x + 5 का
(i) एक अद्वितीय हल है
(ii) केवल दो हल हैं
(iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
उत्तर: (iii) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।
कारण: y = 3x + 5 एक दो चरों वाला रैखिक समीकरण है। x के प्रत्येक मान के लिए y का एक संगत मान प्राप्त होता है। चूँकि x के अपरिमित मान हो सकते हैं, इसलिए इसके अपरिमित हल होंगे।
प्रश्न 2: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक के चार हल लिखिए:
(i) 2x + y = 7
y = 7 - 2x
x = 0 ⇒ y = 7 → (0, 7)
x = 1 ⇒ y = 5 → (1, 5)
x = 2 ⇒ y = 3 → (2, 3)
x = 3 ⇒ y = 1 → (3, 1)
(ii) πx + y = 9
y = 9 - πx
x = 0 ⇒ y = 9 → (0, 9)
x = 1 ⇒ y = 9 - π → (1, 9 - π)
x = 2 ⇒ y = 9 - 2π → (2, 9 - 2π)
x = 3 ⇒ y = 9 - 3π → (3, 9 - 3π)
(iii) x = 4y
x = 0 ⇒ y = 0 → (0, 0)
x = 4 ⇒ y = 1 → (4, 1)
x = 8 ⇒ y = 2 → (8, 2)
x = 12 ⇒ y = 3 → (12, 3)
प्रश्न 3: बताइए कि निम्नलिखित हलों में कौन-कौन समीकरण x - 2y = 4 के हल हैं और कौन-कौन नहीं हैं:
(i) (0, 2)
0 - 2(2) = -4 ≠ 4 → हल नहीं है
(ii) (2, 0)
2 - 2(0) = 2 ≠ 4 → हल नहीं है
(iii) (4, 0)
4 - 2(0) = 4 = 4 → हाँ, हल है
(iv) (√2, 4√2)
√2 - 2(4√2) = √2 - 8√2 = -7√2 ≠ 4 → हल नहीं है
(v) (1, 1)
1 - 2(1) = -1 ≠ 4 → हल नहीं है
प्रश्न 4: ज्ञात कीजिए कि k का मान क्या होगा यदि x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k का एक हल है।
हल: x = 2, y = 1 समीकरण 2x + 3y = k में रखने पर:
2(2) + 3(1) = k
4 + 3 = k
⇒ k = 7
प्रश्नावली 4.3 (Exercise 4.3)
प्रश्न 1: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक के दो हल लिखिए:
(i) 2x + y = 7
(0, 7) और (1, 5)
(ii) πx + y = 9
(0, 9) और (1, 9 - π)
(iii) x = 4y
(0, 0) और (4, 1)
प्रश्न 2: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक के लिए y का मान x के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 3x + 2y = 6
2y = 6 - 3x ⇒ y = (6 - 3x)/2
(ii) 5x - 2y = 10
-2y = 10 - 5x ⇒ 2y = 5x - 10 ⇒ y = (5x - 10)/2
(iii) 2x + 3y = 12
3y = 12 - 2x ⇒ y = (12 - 2x)/3
प्रश्न 3: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:
(i) x + y = 4
बिंदु: (0, 4), (2, 2), (4, 0)
(ii) x - y = 2
बिंदु: (0, -2), (2, 0), (4, 2)
(iii) y = 3x
बिंदु: (0, 0), (1, 3), (2, 6)
(iv) 3 = 2x + y
बिंदु: (0, 3), (1, 1), (3, -3)
नोट: आलेख ग्राफ पेपर पर खींचें।
प्रश्न 4: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:
(i) x + y = 4
बिंदु: (0, 4), (2, 2), (4, 0)
(ii) x - y = 2
बिंदु: (0, -2), (2, 0), (4, 2)
(iii) y = 3x
बिंदु: (0, 0), (1, 3), (2, 6)
(iv) 3 = 2x + y
बिंदु: (0, 3), (1, 1), (3, -3)
प्रश्न 5: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:
(i) x + y = 4
(ii) x - y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
नोट: सभी आलेख ग्राफ पेपर पर खींचें।
प्रश्न 6: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:
(i) x + y = 4
(ii) x - y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
प्रश्न 7: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:
(i) x + y = 4
(ii) x - y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
प्रश्न 8: निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक का आलेख खींचिए:
(i) x + y = 4
(ii) x - y = 2
(iii) y = 3x
(iv) 3 = 2x + y
प्रश्नावली 4.4 (Exercise 4.4)
प्रश्न 1: एक चर वाले रैखिक समीकरण का आलेख कैसा होता है? एक उदाहरण देकर समझाइए।
उत्तर: एक चर वाले रैखिक समीकरण का आलेख एक सरल रेखा होती है जो x-अक्ष या y-अक्ष के समांतर होती है।
उदाहरण: समीकरण x = 3 का आलेख एक ऊर्ध्वाधर रेखा है जो x-अक्ष पर बिंदु 3 से गुजरती है।
समीकरण y = 2 का आलेख एक क्षैतिज रेखा है जो y-अक्ष पर बिंदु 2 से गुजरती है।
प्रश्न 2: दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख कैसा होता है? एक उदाहरण देकर समझाइए।
उत्तर: दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख एक सरल रेखा होती है जो न तो x-अक्ष के समांतर होती है और न ही y-अक्ष के समांतर।
उदाहरण: समीकरण x + y = 4 का आलेख एक सरल रेखा है जो बिंदुओं (0, 4), (2, 2) और (4, 0) से गुजरती है।
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