प्रश्नावली 5.1 (Exercise 5.1)
प्रश्न 1: निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए:
(i) एक बिंदु से होकर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।
उत्तर: असत्य। एक बिंदु से होकर अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
उत्तर: सत्य। यह यूक्लिड की अभिधारणा 1 है।
(iii) एक सांत रेखा को दोनों ओर अपरिमित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
उत्तर: सत्य। यह यूक्लिड की अभिधारणा 2 है।
(iv) यदि दो वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं, तो उनके केंद्र एक ही बिंदु पर होते हैं।
उत्तर: असत्य। दो भिन्न वृत्तों के केंद्र भिन्न-भिन्न होते हैं।
(v) यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो उनका एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है।
उत्तर: सत्य। दो रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं।
प्रश्न 2: दीजिए कि यूक्लिड की अभिधारणाओं में से प्रत्येक में कुछ अपरिभाषित शब्द हैं। इन अपरिभाषित शब्दों की सूची बनाइए।
उत्तर: यूक्लिड की अभिधारणाओं में निम्नलिखित अपरिभाषित शब्द हैं:
- बिंदु (Point)
- रेखा (Line)
- समतल (Plane)
ये शब्द बिना परिभाषा के प्रयोग किए जाते हैं और इन्हें केवल उनके गुणों से समझा जाता है।
प्रश्न 3: निम्नलिखित में से कौन-सी अभिधारणाएँ यूक्लिड की अभिधारणाएँ हैं?
(i) एक बिंदु से होकर अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ खींची जा सकती हैं।
उत्तर: हाँ, यह यूक्लिड की अभिधारणा है।
(ii) दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।
उत्तर: हाँ, यह यूक्लिड की अभिधारणा है।
(iii) एक सांत रेखा को दोनों ओर अपरिमित रूप से बढ़ाया जा सकता है।
उत्तर: हाँ, यह यूक्लिड की अभिधारणा है।
(iv) सभी समकोण एक-दूसरे के बराबर होते हैं।
उत्तर: हाँ, यह यूक्लिड की अभिधारणा है।
प्रश्न 4: यदि दो बिंदुओं A और B के बीच एक बिंदु C स्थित है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = AC + CB है।
हल: दिया गया है कि A, B और C तीन बिंदु हैं जिनमें C, A और B के बीच स्थित है।
यूक्लिड की अभिगृहीत 4 के अनुसार, जो वस्तुएँ एक-दूसरे पर संपाती होती हैं, वे एक-दूसरे के बराबर होती हैं।
चूँकि C, A और B के बीच है, इसलिए AC + CB = AB
⇒ AB = AC + CB (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: प्रश्न 4 में, यदि AC = CB है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = 2AC है।
हल: दिया गया है: AC = CB
प्रश्न 4 से, AB = AC + CB
⇒ AB = AC + AC (क्योंकि CB = AC)
⇒ AB = 2AC (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: आकृति में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
हल: दिया गया है: AC = BD
AC = AB + BC और BD = BC + CD
⇒ AB + BC = BC + CD
दोनों ओर से BC घटाने पर:
⇒ AB = CD (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 7: यूक्लिड की अभिगृहीत 5 को स्पष्ट कीजिए।
उत्तर: यूक्लिड की अभिगृहीत 5 कहती है कि "पूर्ण वस्तु अपने किसी भाग से बड़ी होती है।"
स्पष्टीकरण: यदि एक वस्तु को दो भागों में बाँटा जाए, तो पूरी वस्तु का माप उसके किसी एक भाग से अधिक होता है।
उदाहरण: यदि एक रेखाखंड AB को बिंदु C पर दो भागों AC और CB में बाँटा जाए, तो AB > AC और AB > CB होगा।
प्रश्नावली 5.2 (Exercise 5.2)
प्रश्न 1: यूक्लिड की अभिधारणा 5 को स्पष्ट कीजिए।
उत्तर: यूक्लिड की अभिधारणा 5 कहती है कि "यदि एक सरल रेखा दो सरल रेखाओं को काटती है और एक ही ओर के अंतः कोणों का योग दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सरल रेखाएँ उस ओर बढ़ाए जाने पर एक-दूसरे को मिलेंगी।"
स्पष्टीकरण: यह अभिधारणा समांतर रेखाओं की अवधारणा से संबंधित है। यदि दो रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है और एक ही ओर के अंतः कोणों का योग 180° से कम है, तो वे रेखाएँ उस ओर प्रतिच्छेद करेंगी।
प्रश्न 2: क्या यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को अन्य अभिधारणाओं से प्राप्त किया जा सकता है? चर्चा कीजिए।
उत्तर: नहीं, यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को अन्य अभिधारणाओं से प्राप्त नहीं किया जा सकता। यह एक स्वतंत्र अभिधारणा है।
कई गणितज्ञों ने इसे अन्य अभिधारणाओं से सिद्ध करने का प्रयास किया, लेकिन असफल रहे। इसी कारण से यह "समांतर अभिधारणा" के रूप में जानी जाती है और इसे यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा कहा जाता है।
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