प्रश्नावली 6.1 (Exercise 6.1)
प्रश्न 1: आकृति में, रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠AOC + ∠BOE = 70° और ∠BOD = 40° है, तो ∠BOE और प्रतिवर्ती ∠COE ज्ञात कीजिए।
हल: दिया गया है: ∠AOC + ∠BOE = 70° और ∠BOD = 40°
∠AOC = ∠BOD (शीर्षाभिमुख कोण)
⇒ ∠AOC = 40°
अब, ∠AOC + ∠BOE = 70°
⇒ 40° + ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 30°
अब, ∠COE = ∠AOC + ∠AOE
∠AOE = ∠BOE (शीर्षाभिमुख कोण) = 30°
∠COE = 40° + 30° = 70°
प्रतिवर्ती ∠COE = 360° - 70° = 290°
प्रश्न 2: आकृति में, रेखाएँ XY और MN बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
हल: दिया गया है: ∠POY = 90° और a : b = 2 : 3
माना a = 2x और b = 3x
∠POY = 90° ⇒ ∠POX = 90°
अब, a + b = ∠POX = 90°
⇒ 2x + 3x = 90° ⇒ 5x = 90° ⇒ x = 18°
⇒ a = 36°, b = 54°
c = ∠MOY = ∠XON (शीर्षाभिमुख कोण)
∠XON = a = 36°
⇒ c = 36°
प्रश्न 3: आकृति में, ∠PQR = ∠PRQ है, तो सिद्ध कीजिए कि ∠PQS = ∠PRT है।
हल: दिया गया है: ∠PQR = ∠PRQ
∠PQS + ∠PQR = 180° (रैखिक युग्म)
∠PRT + ∠PRQ = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠PQS + ∠PQR = ∠PRT + ∠PRQ
चूँकि ∠PQR = ∠PRQ
⇒ ∠PQS = ∠PRT (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: आकृति में, यदि x + y = w + z है, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
हल: दिया गया है: x + y = w + z
x + y + w + z = 360° (बिंदु के चारों ओर के कोण)
⇒ (x + y) + (x + y) = 360°
⇒ 2(x + y) = 360°
⇒ x + y = 180°
चूँकि x + y = 180°, इसलिए AOB एक रेखा है। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: आकृति में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लंब है। OS किरण OP और OR के बीच में है। सिद्ध कीजिए कि ∠ROS = 1/2 (∠QOS - ∠POS) है।
हल: दिया गया है: POQ एक रेखा है, OR ⊥ PQ
⇒ ∠POR = 90°
∠POS + ∠ROS = 90° ...(i)
∠QOS = ∠QOR + ∠ROS = 90° + ∠ROS ...(ii)
(ii) - (i) से:
∠QOS - ∠POS = 90° + ∠ROS - (90° - ∠ROS)
= 90° + ∠ROS - 90° + ∠ROS
= 2∠ROS
⇒ ∠ROS = 1/2 (∠QOS - ∠POS) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: दिया गया है: ∠XYZ = 64° और XY को बिंदु P तक बढ़ाया गया है। यदि किरण YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है, तो ∠XYQ और प्रतिवर्ती ∠QYP ज्ञात कीजिए।
हल: ∠XYZ = 64°
∠ZYP = 180° - 64° = 116°
YQ, ∠ZYP को समद्विभाजित करती है।
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = 116°/2 = 58°
∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ = 64° + 58° = 122°
प्रतिवर्ती ∠QYP = 360° - 58° = 302°
प्रश्नावली 6.2 (Exercise 6.2)
प्रश्न 1: आकृति में, यदि AB || CD, CD || EF और y : z = 3 : 7 है, तो x ज्ञात कीजिए।
हल: AB || CD और CD || EF
⇒ AB || EF
x = z (एकांतर अंतः कोण) ...(i)
x + y = 180° (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण) ...(ii)
y : z = 3 : 7 ⇒ माना y = 3k, z = 7k
(i) से x = 7k
(ii) से 7k + 3k = 180° ⇒ 10k = 180° ⇒ k = 18°
⇒ x = 7 × 18° = 126°
प्रश्न 2: आकृति में, यदि AB || CD, EF ⊥ CD और ∠GED = 126° है, तो ∠AGE, ∠GEF और ∠FGE ज्ञात कीजिए।
हल: AB || CD और GE तिर्यक रेखा है।
∠AGE = ∠GED (एकांतर अंतः कोण) = 126°
∠GEF = ∠GED - ∠FED = 126° - 90° = 36°
∠FGE = 180° - ∠AGE (रैखिक युग्म) = 180° - 126° = 54°
प्रश्न 3: आकृति में, यदि PQ || ST, ∠PQR = 110° और ∠RST = 130° है, तो ∠QRS ज्ञात कीजिए।
हल: बिंदु R से होकर PQ के समांतर एक रेखा खींचें।
∠PQR + ∠QRX = 180° (तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोण)
⇒ 110° + ∠QRX = 180° ⇒ ∠QRX = 70°
∠RST + ∠SRY = 180° ⇒ 130° + ∠SRY = 180° ⇒ ∠SRY = 50°
∠QRS = ∠QRX + ∠SRY = 70° + 50° = 120°
प्रश्न 4: आकृति में, यदि AB || CD, ∠APQ = 50° और ∠PRD = 127° है, तो x और y ज्ञात कीजिए।
हल: AB || CD और PQ तिर्यक रेखा है।
∠APQ = ∠PQR (एकांतर अंतः कोण)
⇒ x = 50°
∠APR = ∠PRD (एकांतर अंतः कोण)
⇒ ∠APQ + ∠QPR = 127°
⇒ 50° + y = 127° ⇒ y = 77°
प्रश्न 5: आकृति में, PQ और RS दो दर्पण हैं जो एक-दूसरे के समांतर रखे गए हैं। एक आपतन किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है और परावर्तित किरण BC, दर्पण RS से C पर टकराती है और पुनः परावर्तित होकर CD के अनुदिश चली जाती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD है।
हल: PQ || RS और BC तिर्यक रेखा है।
∠ABC = ∠BCS (एकांतर अंतः कोण) ...(i)
परावर्तन के नियम से, ∠ABC = ∠QBC और ∠BCS = ∠BCR
⇒ ∠QBC = ∠BCR
चूँकि ∠ABC = ∠BCS और ∠QBC = ∠BCR
⇒ ∠ABC + ∠QBC = ∠BCS + ∠BCR
⇒ 2∠ABC = 2∠BCS
⇒ ∠ABC = ∠BCS
ये एकांतर अंतः कोण हैं, इसलिए AB || CD। (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 6.3 (Exercise 6.3)
प्रश्न 1: आकृति में, ΔPQR की भुजाओं QP और RQ को क्रमशः बिंदुओं S और T तक बढ़ाया गया है। यदि ∠SPR = 135° और ∠PQT = 110° है, तो ∠PRQ ज्ञात कीजिए।
हल: ∠SPR + ∠QPR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 135° + ∠QPR = 180° ⇒ ∠QPR = 45°
∠PQT + ∠PQR = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ 110° + ∠PQR = 180° ⇒ ∠PQR = 70°
ΔPQR में, ∠PQR + ∠QPR + ∠PRQ = 180°
⇒ 70° + 45° + ∠PRQ = 180°
⇒ ∠PRQ = 65°
प्रश्न 2: आकृति में, ∠X = 62°, ∠XYZ = 54° है। यदि YO और ZO क्रमशः ∠XYZ और ∠XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠OZY और ∠YOZ ज्ञात कीजिए।
हल: ΔXYZ में, ∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180° ⇒ ∠XZY = 64°
ZO, ∠XZY को समद्विभाजित करता है।
⇒ ∠OZY = 64°/2 = 32°
YO, ∠XYZ को समद्विभाजित करता है।
⇒ ∠OYZ = 54°/2 = 27°
ΔOYZ में, ∠OYZ + ∠OZY + ∠YOZ = 180°
⇒ 27° + 32° + ∠YOZ = 180°
⇒ ∠YOZ = 121°
प्रश्न 3: आकृति में, यदि AB || DE, ∠BAC = 35° और ∠CDE = 53° है, तो ∠DCE ज्ञात कीजिए।
हल: AB || DE और AE तिर्यक रेखा है।
∠BAC = ∠CED (एकांतर अंतः कोण)
⇒ ∠CED = 35°
ΔCDE में, ∠CDE + ∠CED + ∠DCE = 180°
⇒ 53° + 35° + ∠DCE = 180°
⇒ ∠DCE = 92°
प्रश्न 4: आकृति में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° और ∠TSQ = 75° है, तो ∠SQT ज्ञात कीजिए।
हल: ΔPRT में, ∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180°
⇒ 40° + 95° + ∠PTR = 180° ⇒ ∠PTR = 45°
∠STQ = ∠PTR (शीर्षाभिमुख कोण) = 45°
ΔSTQ में, ∠TSQ + ∠STQ + ∠SQT = 180°
⇒ 75° + 45° + ∠SQT = 180°
⇒ ∠SQT = 60°
प्रश्न 5: आकृति में, यदि PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠SQR = 28° और ∠QRT = 65° है, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
हल: PQ || SR और QR तिर्यक रेखा है।
∠PQR = ∠QRT (एकांतर अंतः कोण)
⇒ ∠PQS + ∠SQR = 65°
⇒ x + 28° = 65° ⇒ x = 37°
ΔPQS में, ∠PQS + ∠PSQ + ∠QPS = 180°
⇒ 37° + y + 90° = 180°
⇒ y = 53°
प्रश्न 6: आकृति में, ΔPQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया गया है। यदि ∠PQR = 60° और ∠PRS = 130° है, तो ∠QPR ज्ञात कीजिए।
हल: ∠PRS = ∠PQR + ∠QPR (बहिष्कोण प्रमेय)
⇒ 130° = 60° + ∠QPR
⇒ ∠QPR = 70°
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