प्रश्नावली 7.1 (Exercise 7.1)
प्रश्न 1: चतुर्भुज ABCD में, AC = AD है और AB कोण A को समद्विभाजित करता है। सिद्ध कीजिए कि ΔABC ≅ ΔABD है।
हल: ΔABC और ΔABD में,
AC = AD (दिया गया है)
∠BAC = ∠BAD (AB, ∠A को समद्विभाजित करता है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔABD (SAS सर्वांगसमता नियम से) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: ABCD एक चतुर्भुज है, जिसमें AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि ΔABD ≅ ΔBAC है।
हल: ΔABD और ΔBAC में,
AD = BC (दिया गया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया गया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔBAC (SAS सर्वांगसमता नियम से) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: यदि ΔABC में, ∠A = 90°, AB = AC है, तो ∠B और ∠C ज्ञात कीजिए।
हल: ΔABC में, AB = AC
⇒ ∠B = ∠C (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं)
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ 90° + ∠B + ∠B = 180°
⇒ 2∠B = 90° ⇒ ∠B = 45°
⇒ ∠B = ∠C = 45°
प्रश्न 4: ΔABC में, ∠A = 90°, AB = AC है। यदि BD, ∠B का समद्विभाजक है, तो ∠ADB और ∠ADC ज्ञात कीजिए।
हल: ΔABC में, ∠A = 90°, AB = AC
⇒ ∠B = ∠C = 45°
BD, ∠B का समद्विभाजक है।
⇒ ∠ABD = ∠DBC = 22.5°
ΔABD में, ∠A + ∠ABD + ∠ADB = 180°
⇒ 90° + 22.5° + ∠ADB = 180°
⇒ ∠ADB = 67.5°
∠ADB + ∠ADC = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠ADC = 112.5°
प्रश्न 5: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है।
हल: ΔABC में, AB = AC
⇒ ∠B = ∠C (समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: ΔABC में, AB = AC है। यदि BD और CE क्रमशः ∠B और ∠C के समद्विभाजक हैं, तो सिद्ध कीजिए कि BD = CE है।
हल: ΔABC में, AB = AC
⇒ ∠B = ∠C ⇒ 1/2∠B = 1/2∠C
⇒ ∠ABD = ∠ACE
ΔABD और ΔACE में,
AB = AC (दिया गया है)
∠ABD = ∠ACE (सिद्ध किया)
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔACE (ASA सर्वांगसमता नियम से)
⇒ BD = CE (CPCT) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 7: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 5 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 8: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 5 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 7.2 (Exercise 7.2)
प्रश्न 1: समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, AB = AC है। ∠B और ∠C के समद्विभाजक परस्पर बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि OB = OC है।
हल: ΔABC में, AB = AC
⇒ ∠B = ∠C
⇒ 1/2∠B = 1/2∠C
⇒ ∠OBC = ∠OCB
ΔOBC में, ∠OBC = ∠OCB
⇒ OB = OC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: ΔABC में, AD भुजा BC का लंब समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है।
हल: ΔABD और ΔACD में,
BD = CD (AD लंब समद्विभाजक है)
∠ADB = ∠ADC = 90°
AD = AD (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔACD (SAS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ AB = AC (CPCT)
⇒ ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, AB = AC है। भुजा BA को बिंदु D तक बढ़ाया गया है। सिद्ध कीजिए कि ∠BCD = 90° है।
हल: ΔABC में, AB = AC
⇒ ∠B = ∠C
∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 2∠B = 180° ...(i)
∠A + ∠DAB = 180° (रैखिक युग्म)
⇒ ∠DAB = 180° - ∠A
ΔABD में, ∠DAB + ∠ABD + ∠ADB = 180°
⇒ (180° - ∠A) + ∠ABD + ∠ADB = 180°
⇒ ∠ABD + ∠ADB = ∠A
⇒ ∠ADB = ∠A/2
∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = ∠C + ∠A/2 = (180° - ∠A)/2 + ∠A/2 = 90°
∠BCD = 90° (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: ΔABC में, ∠B = ∠C है। सिद्ध कीजिए कि AB = AC है।
हल: ΔABC में, ∠B = ∠C
⇒ AB = AC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: ΔABC में, ∠B = ∠C है। सिद्ध कीजिए कि AB = AC है। (प्रश्न 4 जैसा ही)
उत्तर: ∠B = ∠C ⇒ AB = AC (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 5 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 7: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 5 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 8: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 5 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 7.3 (Exercise 7.3)
प्रश्न 1: ΔABC और ΔDBC एक ही आधार BC पर बने दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠ABD = ∠ACD है।
हल: ΔABC में, AB = AC
⇒ ∠ABC = ∠ACB ...(i)
ΔDBC में, DB = DC
⇒ ∠DBC = ∠DCB ...(ii)
(i) और (ii) जोड़ने पर:
∠ABC + ∠DBC = ∠ACB + ∠DCB
⇒ ∠ABD = ∠ACD (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: ΔABC में, AD भुजा BC का लंब समद्विभाजक है। सिद्ध कीजिए कि ΔABC समद्विबाहु त्रिभुज है। (प्रश्न 7.2.2 जैसा ही)
उत्तर: ΔABD ≅ ΔACD (SAS) ⇒ AB = AC ⇒ ΔABC समद्विबाहु है। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: ΔABC में, BE और CF क्रमशः AC और AB पर खींचे गए लंब हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔABE ≅ ΔACF है।
हल: ΔABE और ΔACF में,
∠AEB = ∠AFC = 90°
∠A = ∠A (उभयनिष्ठ)
AB = AC (दिया गया है)
∴ ΔABE ≅ ΔACF (AAS सर्वांगसमता नियम से) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: ΔABC में, BE और CF क्रमशः AC और AB पर खींचे गए लंब हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔABE ≅ ΔACF है। (प्रश्न 3 जैसा ही)
उत्तर: ΔABE ≅ ΔACF (AAS) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: ΔABC में, BE और CF क्रमशः AC और AB पर खींचे गए लंब हैं। सिद्ध कीजिए कि ΔABE ≅ ΔACF है। (प्रश्न 3 जैसा ही)
उत्तर: ΔABE ≅ ΔACF (AAS) (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 7.4 (Exercise 7.4)
प्रश्न 1: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 7.5 (Exercise 7.5)
प्रश्न 1: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: ΔABC में, AB = AC है। सिद्ध कीजिए कि ∠B = ∠C है। (प्रश्न 7.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AB = AC ⇒ ∠B = ∠C (सिद्ध हुआ)
📄 PDF डाउनलोड
इस अध्याय के सभी समाधानों को PDF में डाउनलोड करें।
Download PDF