प्रश्नावली 8.1 (Exercise 8.1)
प्रश्न 1: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि ΔABD ≅ ΔBAC है।
हल: ΔABD और ΔBAC में,
AD = BC (दिया गया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया गया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABD ≅ ΔBAC (SAS सर्वांगसमता नियम से) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि BD = AC है।
हल: प्रश्न 1 से, ΔABD ≅ ΔBAC
∴ BD = AC (CPCT) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि ∠ABD = ∠BAC है।
हल: प्रश्न 1 से, ΔABD ≅ ΔBAC
∴ ∠ABD = ∠BAC (CPCT) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि ΔABC ≅ ΔBAD है।
हल: ΔABC और ΔBAD में,
AD = BC (दिया गया है)
∠DAB = ∠CBA (दिया गया है)
AB = AB (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔBAD (SAS सर्वांगसमता नियम से) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि ∠ABD = ∠BAC है। (प्रश्न 3 जैसा ही)
उत्तर: ∠ABD = ∠BAC (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि AC = BD है। (प्रश्न 2 जैसा ही)
उत्तर: AC = BD (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 7: चतुर्भुज ABCD में, AD = BC और ∠DAB = ∠CBA है। सिद्ध कीजिए कि ∠ABD = ∠BAC है। (प्रश्न 3 जैसा ही)
उत्तर: ∠ABD = ∠BAC (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 8.2 (Exercise 8.2)
प्रश्न 1: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि AB = CD और AD = BC है।
हल: समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
∴ AB = CD और AD = BC (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠C और ∠B = ∠D है।
हल: समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।
∴ ∠A = ∠C और ∠B = ∠D (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC, समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
हल: ΔABC और ΔCDA में,
AB = CD (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
BC = DA (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
AC = AC (उभयनिष्ठ)
∴ ΔABC ≅ ΔCDA (SSS सर्वांगसमता नियम से) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है।
हल: प्रश्न 3 से, ΔABC ≅ ΔCDA
∴ ∠BAC = ∠DCA और ∠BCA = ∠DAC (CPCT)
⇒ AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
हल: माना विकर्ण AC और BD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
ΔAOB और ΔCOD में,
∠OAB = ∠OCD (एकांतर कोण)
∠OBA = ∠ODC (एकांतर कोण)
AB = CD (सम्मुख भुजाएँ)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD (ASA सर्वांगसमता नियम से)
⇒ OA = OC और OB = OD (CPCT)
⇒ विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (प्रश्न 5 जैसा ही)
उत्तर: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 7: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (प्रश्न 5 जैसा ही)
उत्तर: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 8.3 (Exercise 8.3)
प्रश्न 1: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि ∠A = ∠C और ∠B = ∠D है। (प्रश्न 8.2.2 जैसा ही)
उत्तर: ∠A = ∠C और ∠B = ∠D (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि AB = CD और AD = BC है। (प्रश्न 8.2.1 जैसा ही)
उत्तर: AB = CD और AD = BC (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है। (प्रश्न 8.2.4 जैसा ही)
उत्तर: AC, ∠A और ∠C को समद्विभाजित करता है। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (प्रश्न 8.2.5 जैसा ही)
उत्तर: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (प्रश्न 8.2.5 जैसा ही)
उत्तर: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (प्रश्न 8.2.5 जैसा ही)
उत्तर: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 7: ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। सिद्ध कीजिए कि विकर्ण AC और BD एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (प्रश्न 8.2.5 जैसा ही)
उत्तर: विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। (सिद्ध हुआ)
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