प्रश्नावली 9.1 (Exercise 9.1)
प्रश्न 1: याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल: मान लीजिए दो सर्वांगसम वृत्त हैं जिनके केंद्र O और O' हैं।
दिया गया है: जीवा AB = जीवा CD
सिद्ध करना है: ∠AOB = ∠CO'D
ΔAOB और ΔCO'D में,
OA = O'C (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
OB = O'D (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
AB = CD (दिया गया है)
∴ ΔAOB ≅ ΔCO'D (SSS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ ∠AOB = ∠CO'D (CPCT) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं, तो जीवाएँ बराबर होती हैं।
हल: मान लीजिए दो सर्वांगसम वृत्त हैं जिनके केंद्र O और O' हैं।
दिया गया है: ∠AOB = ∠CO'D
सिद्ध करना है: AB = CD
ΔAOB और ΔCO'D में,
OA = O'C (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
OB = O'D (सर्वांगसम वृत्तों की त्रिज्याएँ)
∠AOB = ∠CO'D (दिया गया है)
∴ ΔAOB ≅ ΔCO'D (SAS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ AB = CD (CPCT) (सिद्ध हुआ)
प्रश्नावली 9.2 (Exercise 9.2)
प्रश्न 1: याद कीजिए कि दो वृत्त सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी त्रिज्याएँ बराबर हों। सिद्ध कीजिए कि सर्वांगसम वृत्तों की बराबर जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं। (प्रश्न 9.1.1 जैसा ही)
उत्तर: ΔAOB ≅ ΔCO'D (SSS) ⇒ ∠AOB = ∠CO'D (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 2: सिद्ध कीजिए कि यदि सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ उनके केंद्रों पर बराबर कोण अंतरित करती हैं, तो जीवाएँ बराबर होती हैं। (प्रश्न 9.1.2 जैसा ही)
उत्तर: ΔAOB ≅ ΔCO'D (SAS) ⇒ AB = CD (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 3: सिद्ध कीजिए कि वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र पर बराबर कोण अंतरित करती हैं।
हल: वृत्त में जीवा AB = जीवा CD
ΔAOB और ΔCOD में,
OA = OC (त्रिज्या)
OB = OD (त्रिज्या)
AB = CD (दिया गया है)
∴ ΔAOB ≅ ΔCOD (SSS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ ∠AOB = ∠COD (CPCT) (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 4: सिद्ध कीजिए कि वृत्त की बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।
हल: वृत्त में जीवा AB = जीवा CD
केंद्र O से AB पर लंब OM और CD पर लंब ON खींचें।
ΔAOM और ΔCON में,
OA = OC (त्रिज्या)
AM = CN (जीवाओं के आधे भाग)
∠AMO = ∠CNO = 90°
∴ ΔAOM ≅ ΔCON (RHS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ OM = ON (CPCT)
⇒ जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर हैं। (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 5: सिद्ध कीजिए कि केंद्र से समान दूरी पर स्थित वृत्त की जीवाएँ बराबर होती हैं।
हल: वृत्त में जीवाएँ AB और CD केंद्र O से समान दूरी पर हैं।
यानी OM = ON (जहाँ OM ⊥ AB और ON ⊥ CD)
ΔAOM और ΔCON में,
OA = OC (त्रिज्या)
OM = ON (दिया गया है)
∠AMO = ∠CNO = 90°
∴ ΔAOM ≅ ΔCON (RHS सर्वांगसमता नियम से)
⇒ AM = CN (CPCT)
⇒ 2AM = 2CN ⇒ AB = CD (सिद्ध हुआ)
प्रश्न 6: 5 सेमी, 8 सेमी और 11 सेमी भुजाओं वाले एक त्रिभुज की रचना कीजिए और उसका परिवृत्त खींचिए।
हल: रचना के चरण:
1. एक त्रिभुज ABC बनाएँ जिसमें AB = 5 सेमी, BC = 8 सेमी, CA = 11 सेमी
2. AB और AC के लंब समद्विभाजक खींचें।
3. दोनों लंब समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं।
4. O को केंद्र मानकर OA त्रिज्या से वृत्त खींचें।
यही अभीष्ट परिवृत्त है। (रचना)
प्रश्न 7: एक समकोण त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी भुजाएँ 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी हैं। इसका परिवृत्त खींचिए।
हल: रचना के चरण:
1. समकोण त्रिभुज ABC बनाएँ जिसमें ∠B = 90°, AB = 5 सेमी, BC = 12 सेमी, AC = 13 सेमी
2. AB और BC के लंब समद्विभाजक खींचें।
3. दोनों लंब समद्विभाजक बिंदु O पर मिलते हैं।
4. O को केंद्र मानकर OA त्रिज्या से वृत्त खींचें।
यही अभीष्ट परिवृत्त है। (रचना)
प्रश्नावली 9.3 (Exercise 9.3)
प्रश्न 1: एक वृत्त की जीवा 8 सेमी लंबी है और केंद्र से 3 सेमी दूर है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल: जीवा AB = 8 सेमी, केंद्र से दूरी OM = 3 सेमी
AM = AB/2 = 4 सेमी
ΔOAM में, OA² = OM² + AM²
OA² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
⇒ OA = 5 सेमी (त्रिज्या)
प्रश्न 2: एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। केंद्र से 3 सेमी दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: त्रिज्या OA = 5 सेमी, केंद्र से दूरी OM = 3 सेमी
ΔOAM में, AM² = OA² - OM²
AM² = 25 - 9 = 16 ⇒ AM = 4 सेमी
जीवा AB = 2 × AM = 2 × 4 = 8 सेमी
प्रश्न 3: एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं। यदि दोनों जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: मान लीजिए वृत्त की त्रिज्या = r
जीवा AB = 12 सेमी, CD = 5 सेमी
AB के लिए: AM = 6 सेमी, OM² = r² - 36
CD के लिए: CN = 2.5 सेमी, ON² = r² - 6.25
दोनों जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं।
∴ दूरी = OM + ON
मान लीजिए r = 6.5 सेमी
OM = √(42.25 - 36) = √6.25 = 2.5 सेमी
ON = √(42.25 - 6.25) = √36 = 6 सेमी
दूरी = 2.5 + 6 = 8.5 सेमी
प्रश्न 4: यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं, और दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हल: पिछले प्रश्न से, OM = 2.5 सेमी, ON = 6 सेमी
दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं।
∴ दूरी = ON - OM = 6 - 2.5 = 3.5 सेमी
प्रश्न 5: 20 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पार्क के केंद्र से 16 मीटर की दूरी पर एक जीवा के रूप में एक रास्ता है। पार्क की सीमा पर रास्ते की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: त्रिज्या OA = 20 मीटर, केंद्र से दूरी OM = 16 मीटर
ΔOAM में, AM² = OA² - OM²
AM² = 400 - 256 = 144 ⇒ AM = 12 मीटर
जीवा AB = 2 × AM = 2 × 12 = 24 मीटर
प्रश्न 6: एक 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: त्रिज्या OA = OB = 10 सेमी
∠AOB = 90°
ΔAOB में, AB² = OA² + OB²
AB² = 100 + 100 = 200
⇒ AB = 10√2 सेमी
प्रश्नावली 9.4 (Exercise 9.4)
प्रश्न 1: एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं। यदि दोनों जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.3 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 8.5 सेमी
प्रश्न 2: यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं, और दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.4 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 3.5 सेमी
प्रश्न 3: 20 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पार्क के केंद्र से 16 मीटर की दूरी पर एक जीवा के रूप में एक रास्ता है। पार्क की सीमा पर रास्ते की लंबाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.5 जैसा ही)
उत्तर: लंबाई = 24 मीटर
प्रश्न 4: एक 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.6 जैसा ही)
उत्तर: लंबाई = 10√2 सेमी
प्रश्न 5: एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं। यदि दोनों जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.3 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 8.5 सेमी
प्रश्न 6: यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं, और दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.4 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 3.5 सेमी
प्रश्नावली 9.5 (Exercise 9.5)
प्रश्न 1: एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं। यदि दोनों जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.3 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 8.5 सेमी
प्रश्न 2: यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं, और दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.4 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 3.5 सेमी
प्रश्न 3: 20 मीटर त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार पार्क के केंद्र से 16 मीटर की दूरी पर एक जीवा के रूप में एक रास्ता है। पार्क की सीमा पर रास्ते की लंबाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.5 जैसा ही)
उत्तर: लंबाई = 24 मीटर
प्रश्न 4: एक 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.6 जैसा ही)
उत्तर: लंबाई = 10√2 सेमी
प्रश्न 5: एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं। यदि दोनों जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.3 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 8.5 सेमी
प्रश्न 6: यदि एक वृत्त की दो जीवाएँ 5 सेमी और 12 सेमी लंबी हैं और परस्पर समांतर हैं, और दोनों जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (प्रश्न 9.3.4 जैसा ही)
उत्तर: दूरी = 3.5 सेमी
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